封筒の小切手のパラドックス

このエントリーのトラックバックURL:

最低金額1000円が入ってた場合、もう片方は10000円で0円はありえないという条件ですか。期待値は500円となる。答えは取り替えてもメリットは少ない。分かりませんでした。
これにてドロン。

んー

んー

んー

ん～

・・・・むり！

お邪魔します。
待合でも答えましたが、

封を開けない場合。
自分の封筒のお金の期待値は
５０５×１０のX乗　円。

例えば１０００円と仮定したら、
期待値は５０５００円。
一万円と仮定したら、
期待値は５０５０００円。

これは、期待値という考え方では常に相手にも当てはまる値なので、取引の条件は平等です。

＞涙の紋章さん
お答ありがとうございます。
この場合の二つの封筒の期待値が同じだろうというのは直感的にそうだろうと思うのですが、10000円が入っていると仮定した封筒の中身の期待値が50500円というのはどう考えても矛盾していると思います。
問題の上のケースでも、現実に先に封筒を開けて10000円を確認した後で交換するかどうか決めたとすると、10000円（確定）の期待値が50500円になるという矛盾した現象がおきてしまいます。

これに対し、下のケースは別人さんが仰っているように、期待値が明らかに＋ですので、封を開けないケースとは別の考え方になります。

ちょっと書添えておきますが、封を開けて10000円を確認した後に交換するというのは、下のケースではなくて上のケースでの場合です。

先にA円であると仮定したもの（あるいはあらかじめ10000円と分っているもの）の期待値が計算上それより高くなるというのは矛盾です、A円が入ってる封筒の中身の期待値は当然Aです。

交差してしまいましたね。

そもそも、この問題下において、AさんとBさんに与えられる金額の上限が与えられていない以上、実は彼らの期待値は「等しく無限」なのです。
（文系なので、とっさに∑の式は出せませんが・・・）

仮に封筒の中身が１００００円だとしても、上限が定められていない以上、相手が１０００００円のケースと１０００円のケースの両方が考えられ、なおかつ確率が同等であれば、交換したほうが得です。

この問題のミソは～円までという条件が無い、特殊な条件下で期待値を求めるという矛盾（本来、期待値は無限）です。
その条件で１００００円という条件を出しても、問題は成立しません。

例えば、「上限は１００万円までとする」という条件がついていれば、１円、１０円、１００円、１,０００円、１０,０００円、１００,０００円、１,０００,０００円というケース内で期待値を出すことは可能です（１３８,８８８円）

ですので、期待値を出す条件に矛盾している状況下で、矛盾した期待値が出るのは当然

というのが、答えでは無いでしょうか。

そもそも、この問題下において、AさんとBさんに与えられる金額の上限が与えられていない以上、実は彼らの期待値は「等しく無限」なのです

うーん、確かにこの問題に無限がからんでいて問題をわかりにくくしているとは思います。無限と言えば確かにそのとおりなのですが、一方がA円の時の他方をAで表したときの期待値という事ではないでしょうか？

私は思うのですが、少なくとも封筒を開けてみなかったときには、二人の封筒の期待値は同じであって、交換することによって得をすることはないような気がするのです

しかし一方で、自分一人だけで考えてみると期待値としては上昇するように思えます。

あくまでも、この題意に関しての直感的な感覚としてですが。

またなにか新たに気がついたことがあったらコメント下さい

貴重な意見をありがとうございました。この手の問題はどうしても言葉遣いが無愛想になってしまうことをお許し下さい。

私の問題の認識不足かもしれませんが、私は以下のように思います。
①50500という期待値は、ある一人、A君に対して、今もっている金額＝10,000を、1/2の確立で１０倍（＝100,000）もしくは1/10（＝1,000）にする賭けを行いますか？行いませんか？と言ったときの期待値だと思います。この結果が10000円より大きいのは、ローリスク（負けても9000円の損）ハイリターン（勝つと90000円の得）の賭けをさせてもらえているからです。ちなみに、期待値なので、何回も行ったときの平均値ということになり、たとえばその賭けを10回行ったときの平均値は505,000を中心に確率分布が成り立ちます。
これは同じことがB君にも言えます。
このときA君とB君は独立して考えなければいけませんつまり同時にA君も、B君も賭けをして、二人とも勝つことがありえますし二人ともまけるときもあります
②まず今回の問題の場合、A君は１０倍になるか、1/10になるかという賭けをしているのではなく、二つの金額から二者択一をできる（交換できるということは、２つ封筒のどちらかを選ぶことができる）ということをしているに過ぎません
A君が得られる金額の期待値を求めるには二つの封筒にx円および10*ｘ円が入っておりどちらかを選ぶことになるので、期待値は5.5ｘ円となります。（5.05ｘではない）
これを何度も行うときに、二つの封筒の合計金額が常に一定なのならば、10回行ったときの期待値は50.5ｘになりますが、二つの封筒の合計金額が毎回変わるのならば、10回行ったときの期待値はわからないとしかいい様がないのは、誰でもわかると思います。
さらに、A君が選んだ封筒と必ず違う封筒をB君が受け取らなければいけないということになるので、毎回金額が異なるとしても、二つの封筒に独立性がない（二人が同時にかつことはできないことになり）今回パラドックスだと説明していることはまちがっていることがわかると思います。
さらに、金額で示しているので、計量値的な発想になってしまいがちですが、とりうる値は離散的な値しか取れないので、分布のばらつきを計算する際には計数値的な分布を取ることを前提にしないといけないのかもなあと書きながら思いました。（深く考えてないのでこの辺はまちがってたらすいません）

間違えました②の「これを何度も・・・10回行ったならば55.0ｘになる」の間違えです。すいません

何度もすいません・・・　期待値の意味がちがいますか・・・　で、考え方はどうでしょうか・・・　期待値の考え方も意味をあわせて説明できないかなあとおもって・・・　私も気になりますし・・・　

大変申し訳ございません。何度も書いてしまいまして・・・　ちなみに、これを最後にさせていただきますので、長文お許しください。
まず、説明として期待値を説明するとややこしくなる（私が理解できていないからか？）ので①から、読んでください
①いま、パラドックスだとして計算している期待値は、Cさんという別の人がいて、Aさん、Bさんにも等しく「あなたの持っているお金を1/2の確立で10倍か、1/10倍になるという賭けするぞ」といって、Aさんも、Bさんも賭けをした（上司から言われて必ずせざるを得ない）ときの期待値だと思うのです。この結果、Aさんは1/2の確立で10倍になりますし、Bさんも1/2の確率で１０倍になるということは、1/4の確率で「Aさんも、Bさんも同時に１０倍になる確率」があることになってしまいます。ここがおかしいのだと思います。実際にはAさんが１０倍になったら、Bさんは必ず1/10倍になってしまうので、（その逆もありうるのですが）
②つまり、「二つの封筒に・・・・AさんとBさんが交換」という条件で期待値を計算しようと思うと、AさんとBさんの両方の金額がわかっていないと計算できないと思うのです。そのときの計算は低いほうの金額をｚ円だとすれば、高いほうの金額は10×ｚ円であり、Aさんの期待値は5.5×ｚ円です。
Aさんは結果として金額は今の金額に対して1/10倍になるか、10倍になるかの賭けをしているようにみえるのですが、ｚ円とはが自分のもっている金額か、相手が持っている金額かわかりませんので、「今の封筒」を選ぶか「相手の封筒」を選ぶかという「ｚ円」か、「10×ｚ円」を選ぶか、という選択を迫られているのです
②Aさんは自分が高い封筒をもっているかも知れないと思えば、「封筒を変えない」という選択もあります。しかしパラドックスだというの期待値の計算にはその可能性は残されていません。自分（Aさん）の封筒の金額ｙ円に対し、封筒を相手（Bさん）と変えたときAさんは「10×ｙ円」か「1/10×ｙ」円かになる。そのときBさんはｙ円手にいれることになるが、平等に考えようと思うとBさんも、10×ｙ円か、1/10×ｙ円のどちらかでないといけないのにｙ円ではおかしくなると思います
ようはAさんとBさんの同時にとりうる金額が独立でない（「独立でない」という言い方は一応統計学的？数学的？な言い方だと思うので、ネットで調べるとわかると思います）という条件が抜けてしまっています。
②期待値のけいさんでうんぬんと前回言ったのは、まず封筒を変えることが前提であり、しかもAさんもBさんも持っている金額が違うはずということで、どう説明していいかわからなかったので、数回同じことを行った場合の平均値と同じだというふうにしか（ｎ回行ったのなら、平均値×ｎがそのときのとりうる値の中心値だとしか、かけなかったんです（わたしの言い訳です・・・しかもよく考えれば間違ってるところがあるのかもしれません・・・すんません）

これじゃあ説明できてませんかね・・・なんか書いてたらやはり同じ指摘をされそうな気がするので冒頭にも書いたようにもう消えます。ほかの方に託します（汗）ごめんなさい

すみません、以前には長い文章とか説明を理解する能力がないので①だけを読んで書込みさせていただきましたが、全部読ませていただいてちょっとだけ理解できました。
私の理解力の不足によるものです。
以前は失礼な返答をして申し訳ありませんでした。

Ⅰ交換した場合の期待値
　①自分の封筒にＸ円
　　　（１０Ｘ＋Ｘ）÷２＝５．５Ｘ
　②相手の封筒にＸ円
　　　（Ｘ＋１０Ｘ）÷２＝５．５Ｘ
　③（①＋②）÷２＝５．５Ｘ

Ⅱ交換しなかった場合の期待値
　①自分の封筒にＸ円
　　（Ｘ＋１０Ｘ）÷２＝５．５Ｘ
　②相手の封筒にＸ円
　　（１０Ｘ＋Ｘ）÷２＝５．５Ｘ
　③（①＋②）÷２＝５．５Ｘ

Ⅲ結論
　交換しても、交換しなくても期待値は変わらない。

これは、

①期待値を使うことがそもそもおかしい。
②交換しなかった場合を考慮していない。

ことが単純な勘違いを起こさせるのです。

交換しても、交換しなかったとしてもその期待値は変わりません。

１つのサイコロを振ったばあいの期待値は、
（１＋２＋３＋４＋５＋６）÷６＝３．５
ですが、｛４・５・６｝が出る確率と、｛１・２・３｝が出る確率は等しく１／２ですね。

要するに、これと同じということです。

う～ん。

「仮に僕の封筒に1万円の小切手が入っていたとすると、B君には1000円か10万円かどちらかが入っているわけだ。確率はそれぞれ二分の一だから、もし交換したとしたらその期待値は（1000＋100000）/2で5万500円となる。これはとりかえた方が得だな」

で、交換しなかったとしても、期待値は同じでしょｗ

ネットでちょっと調べてました。その説明を見てもすっきりしないのですが、こういうことがかいてありました。
-----------------------------------
『「仮に僕の封筒に1万円の小切手が入っていたとすると、B君には1000円か10万円かどちらかが入っているわけだ。確率はそれぞれ二分の一だから」
この部分が実は問題では保障されてない。』
--------------------------------------
ここからは私の想像です。
A君とB君両方に
「仮に自分の封筒に1万円の小切手が入っていたとすると、相手には1000円か10万円かどちらかが入っているわけだ。確率はそれぞれ二分の一」を満たす事が無理なのではないかと。

もしそれぞれの封筒に入っている確率でA君の場合はは二分の一と仮にしたときに、A君の封筒に100万円入っていた場合、B君の封筒にあるのは10万円かあるいは1000万円であり、そこでそれぞれの場合を考えて二分の一の期待値を求めるとA君の封筒の期待値とは同じにならないだろうと予想ができます。
多分、数学的計算でA君の期待値とB君の期待値が同じになる点（それぞれの封筒の確率）があるのではないか、そしてそれは「二分の一ではない」という事になるのではないかと思うのです。

　　　　（1000＋100000）/2で5万500円となる。
　　　　これはとりかえた方が得だな。

5万500円だから得、という前提自体が？？？

（1000＋100000）/2で5万500円という計算自体が

何の意味も持たないと思うんですが・・・・・。

得をする金額が９万円、損をする金額が９千円。で

得をする確率が５０％、損をする確率が５０％。

それだけの事だと、体育会系の頭で考えました。

リターンの方が大きいから交換した方が得、といえば

それまでですが・・・・・・。以上、責任は持ちません。

私もぽんぽこさんと同じような考えです。

自分が相手（もう片方の封筒）よりも低い額を持っていたときに得をすると感じるだけで、相手よりも高い額を持っていた場合損をするわけなので、その期待値による見解は偏っていると思います。

得をする確率が５０％、損をする確率が５０％。

これに尽きると思います。